アルバイトなど雇用保険未加入の正規な就職ではない場合はまた別の規制があって内容が変わってきます。※ここでの回答は就職した場合のことで、あなたの言う就業とは就職という意味で回答しています。

臨時教員の退職金の支給＆失業給付について伺います
これはある県の臨時教員（常勤講師）の退職金と失業給付による規定ですが、

１、退職手当・・・いわゆる退職金です。
◆退職手当
○常勤期限付任用
支給されます
支給額・・・退職の日における「給料月額」×0.6ヶ月分

○臨時的任用ありません

２、失業給付・・・もしも仕事が見つからなかったときには助かります。

◆雇用保険失業給付

○常勤期限付任用
・・・加入しません
雇用保険には加入していませんが、働く意志があり、いつでも働ける状況にあるならば、「失業者の退職手当」という名称の失業給付に相当するものを受給する資格があります。

○臨時的任用・・・・加入します
雇用保険に加入しており、離職の日以前１年間に、任用期間が６ヶ月以上あった場合、雇用保険の失業給付の受給資格があります。

質問
●この規定はどこの自治体でも適用されているのですか？
●雇用保険に加入していなくても、失業保険に相応する支給を受けられるとはどういうことですか？
そもそも雇用保険に加入していなければ、相応するものを3ヶ月受給するなどできないのでは？
●産休・育休の代替は期限付き任用ですか？

●この規定はどこの自治体でも適用されているのですか？
全部を調べたわけではないので、全ての自治体に同様の規定があるとは断言できませんが、公立学校教員の給料は、国庫から負担金が出る都合上、国の基準に横並びしている（同様の規定がある）と思われます。

●雇用保険に加入していなくても、失業保険に相応する支給を受けられるとはどういうことですか？
失業給付に関する法律では、退職者に失業給付が受けられるよう定めていますが、公務員の場合、失業給付を上回る退職金が支給されるとして失業保険に加入しなくていいことになっています。
ただし、雇用期間が短期間であったり、懲戒免職等で退職金が出なかったりした場合の救済措置として、「失業保険に相応する支給」と言うものが条例で定められています。この場合、求職活動きをしている旨の証明を職安で貰って教育委員会に提出すると失業給付に相当する額が支給されます。

●産休・育休の代替は期限付き任用ですか？
その通りです。
休んでいる人の、休業（休暇）期間の末日まで又は年度末までのいずれか短いほうの期間での任用になります。
休業（休暇）が任用期間終了後も継続する場合は、再雇用されるのが一般的です。

自己都合で退職したら、失業保険をもらうのは３ヶ月後らしいのですが、
この間（保険をもらうまでの３ヶ月間）にバイトはしてはいけないのでしょうか？

失業保険をもらってる期間はダメと聞いたのですが、、、。

アルバイトは給付制限時間、受給中でもできますよ。ただし規制がありますから貼っておきます。
＜給付制限期間中のアルバイト・パートに関すること＞
＊ハローワークによって言うことが多少違う場合がありますので確認が必要。
①週20時間未満であれば特に金額等に制限はない。制限期間終了後の最初の認定日に申告が必要。
ただし20時間以上の場合は就職扱いになる。
②給付制限期間内に終わらないことが事前に分かっている場合は事前にＨＷに行って雇用保険一時取り消しの手続きを行う。
③給付制限期間内に終わる予定が都合により超過してしまった場合はＨＷに相談して指示を受ける。その場合は過ぎた期間の給付制限は延長になる。
④２つ掛け持ちで20時間を超える場合の扱いは給付制限期間内ならＯＫだが、給付制限期間を過ぎると就職したとみなさる。（就職した場合と同じような働き方と見られる）
注）ハローワークによっては14日以内という制限をつけるところがありますが基本は週20時間未満です。
＜受給中のアルバイト・パート等に関すること＞
①週２０時間未満で１日４時間以上であれば認定日にバイトした日にち分だけの基本手当日額は支給されないが、後に繰り越され、その日数分は後でもらえる。この場合はバイト収入の金額は特に指定されない。
②週２０時間未満で１日４時間未満の場合でバイト日額から１３８８円を引いた額と、基本手当日額との「合計額」がバイト日額の８０％を超えないときは基本手当日額と基礎日数を乗じた金額が支給される。つまり通常通り支給される。
③前述の「合計額」がバイト賃金の８０％を超えるとき、超える額「超過額」を基本手当日額から引いた残りの額に基礎日数を乗じた額が支給される。
④前述の「超過額」が基本手当日額以上である場合は基礎日数分の基本手当ては支給されない。
⑤週２０時間以上になれば就職とみなされる。 (再就職手当の対象）
再就職手当の支給対象にならない形態（１年を超える見込みが無い短期的な職業)についた場合に就業手当として基本手当日額の３０％の金額を就業日ごとに支給する。

失業保険申請方法について
非正規ですが保険加入していましたので、
雇用保険、失業保険にも加入しております。
今回、自己都合にて退職をしたいと考えておりますが、
具体的にどのような流れで進めたらよいのでしょうか？

退職前に職場にて、揃えてもらう書類などは必要なのでしょうか？

また、退職後は最寄りのハローワークに申請に行けば良いのでしょうか？
その場合は勤務地のハローワークか、現住所のハローワークどちらにいけばよいのでしょうか？

また、自己都合退職の場合は、退職後３ヶ月間は、支給猶予されるのでしょうか？
また、その猶予期間に勤務しはじめた場合は、
退職後から勤務し始めの間が、たとえば２ヶ月あったとしても、
その猶予後の支給は猶予中に労働し始めたということで、支給はゼロになるのでしょうか？

よく理解していない方が回答されていますね。
申請するのは自分の住所を管轄するハローワークです。自分の通いやすいところではありません。
質問者さん、質問の数が多い場合は箇条書きにした方が回答しやすいです。
雇用保険受給のみに関して言えば会社から「離職票１－２」を発行してもらってください。それがないと申請ができません。
自己都合の場合は給付制限3ヶ月がありますので受給開始は待期期間7日間を含んで申請から3ヶ月半～4か月近くかかります。（猶予期間ではなく給付制限期間と言います）
3ヶ月の給付制限期間中に職が決まった場合は就職手当が支給されます。
ただし、最初の1ヶ月はハローワークなどによる紹介の職に就くことが条件です。2か月目以降は自分が探した職でもＯＫです。
支給額については給付制限期間中で、まだ全く受給していない状態ですから支給日数が１００％残っていますので、仮に90日受給とすれば６０％が受給できますので54日×基本手当日額（失業給付の金額）が支給になります。

参考までに申請に必要なものを貼っておきます。
１．雇用保険被保険者離職票（１－２）２．印鑑３．写真２枚（上半身３ｃｍ×２.５ｃｍ）＊カラー、白黒OK
４．普通預金通帳またはカード（郵便局もＯＫ）５．免許証、パスポート、等の写真つきの本人を確認できるもの。
ハローワークに持っていくものに不備などがあると時間がかかりますので事前に確認しておきましょう。
注）雇用保険被保険者証は離職票―１に被保険者番号記載があれば被保険者証がなくても申請できます。
「補足」
免許証は持っていませんか？それでいいですよ。
なければ住民基本台帳やパスポートになります。
＞給付制限期間中に就業したとしても、３～４ヶ月後に正規計算でその無職の支給は補償されるということですね。
それは違いますよ。
給付制限期間中に就職した場合は前述のように再就職手当として受給予定日数の６０％が支給されるだけです。それで終わりです。
残りの４０％は1年以内に再度その職を離職した場合に退職証明書を持ってハローワークに申請すれば元の求職者に戻れて受給ができます。
※ここでの回答は就職した場合のことで、あなたの言う就業とは就職という意味で回答しています。
アルバイトなど雇用保険未加入の正規な就職ではない場合はまた別の規制があって内容が変わってきます。

雇用保険についての質問です。
今の職場を退職して新しい仕事を探そうと思うのですが、失業保険の給付金を受け取ってから仕事をするのと、すぐに仕事をはじめて雇用保険を継続するのとではどち
らが特なのですか？
雇用保険を長く掛ければ掛けるほど、先にもらえる給付金は多いものでしょうか？
それとも、あまり変わらないので受け取った方が特になるのでしょうか？

無知ですみません、どなたか教えてください(>_<)

雇用保険とはすぐに働けるが仕事が見つからない人への期間限定の生活保護の意味で支給されるものです。あなたの言う仕事とは短時間のアルバイト等ではなくて、社員としてフルタイム働くことですよね？そういった状況でもらうということは出来ません。

退職理由と加入期間によって受給できる期間が変わります。